Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bao nhiêu mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=5$, đi qua điểm $A(1;4;0)$ và tâm là điểm $I$ thuộc đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\\ z=3t\end{array}$?

Vì tâm $I\in d$ nên tọa độ của $I$ có dạng $I(t;1+t;3t)$.
Mặt cầu $(S)$ đi qua $A(1;4;0)$ và có bán kính $R=5$ khi và chỉ khi:
$I{A}^2=R^2=25$
Ta có:
$(1-t{)}^2+(4-1-t{)}^2+(0-3t{)}^2=25⟺(1-t{)}^2+(3-t{)}^2+9t^2=25$
$⟺(t^2-2t+1)+(t^2-6t+9)+9t^2=25⟺11t^2-8t-15=0$
Phương trình bậc hai có hệ số $a=11,c=-15⟹ac=-165<0$, do đó phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt $t_1,t_2$.
Ứng với mỗi giá trị $t$ ta xác định được một tâm $I$ duy nhất, do đó có đúng 2 mặt cầu thỏa mãn bài toán. Chọn B.