Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$ chuyển động theo theo đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $B(a,b,c)$. Tính $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động trên đường thẳng d: P(t)=A+t·u=(-688+91t; -185+75t; 8), với t>0 (hướng về đài kiểm soát). Điều kiện hiển thị: |OP|=417, tức |OP|²=173889.

Ta có: |OA|²=688²+185²+8²=473344+34225+64=507633; A·u=(-688)(91)+(-185)(75)=-62608-13875=-76483; |u|²=91²+75²=13906.

Phương trình: 507633-152966t+13906t²=173889 ⟺ 13906t²-152966t+333744=0.

Delta = 152966²-4·13906·333744 = 5849649289-4641044064 = 1208605225 = 34765².

t=(152966±34765)/27812, cho t₁=41248/13906=20624/6953≈2,9662 và t₂=8. Vị trí sớm nhất (máy bay hướng về đài nên t tăng dần) là t=20624/6953.

Khi đó:
- a=-688+91·20624/6953=(-4783664+1876784)/6953=-2906880/6953≈-418,07
- b=-185+75·20624/6953=(-1286305+1546800)/6953=260495/6953≈37,47
- c=8

Kiểm tra: |OB|²≈174724+1403,8+64≈173889=417² ✓.

Vậy a+b+c=(-2906880+260495)/6953+8=-2590761/6953≈-372,61.