Trong mặt phẳng, cho đoạn thẳng $AB=\sqrt{5}$ và điểm $M$ thoả mãn $M{A}^2+M{B}^2=3\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$. Biết tập hợp các điểm $M$ là một đường tròn có bán kính $R=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}$. Tính $a+5b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Theo định lý Parson (giả trung bình): $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2M{I}^2+\frac{5}{2}$. Theo công thức tích vô hướng: $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{A{B}^2}{4}=M{I}^2-\frac{5}{4}$. Thay vào phương trình $M{A}^2+M{B}^2=3\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$: $2M{I}^2+\frac{5}{2}=3M{I}^2-\frac{15}{4}$, suy ra $M{I}^2=\frac{5}{2}+\frac{15}{4}=\frac{25}{4}$, tức $MI=\frac{5}{2}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R=\frac{5}{2}$, với $\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$ tối giản nên $a=5,b=2$, do đó $a+5b=5+10=15$.