Trong mặt phẳng $Oxy$ cho:
- Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{3}{4}|x|$.
- Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ và tiếp xúc với tia $Ox$.
- Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $B$ và tiếp xúc với tia $O{x}^{\prime }$.
- Parabol $(P)$ có đỉnh là $O$, qua $I_1$ và $I_2$.
(tham khảo hình vẽ dưới đây)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C),(P)$ và các đường thẳng $I_{1}A,I_{2}B$.

Xét trong góc phần tư thứ nhất ($x>0$), đường thẳng $(C)$ có phương trình $3x-4y=0$. Đường tròn $(C_1)$ có bán kính $R=1$ tiếp xúc với tia $Ox$ nên $I_1(a;1)$ với $a>1$. Vì $(C_1)$ tiếp xúc với $3x-4y=0$ và nằm dưới đường thẳng này nên $\frac{3a-4}{5}=1\Rightarrow a=3\Rightarrow I_1(3;1)$ và tiếp điểm $A\left(\frac{12}{5};\frac{9}{5}\right)$. Parabol $(P)$ đỉnh $O$ đi qua $I_1(3;1)$ có phương trình $y=\frac{1}{9}{x}^2$. Gọi $H(3;0)$ là hình chiếu của $I_1$ trên $Ox$; diện tích tứ giác $OA{I}_{1}H$ gồm hai tam giác vuông $OA{I}_1$ ($OA=3,A{I}_1=1$) và $OH{I}_1$ ($OH=3,H{I}_1=1$) nên $S_{OA{I}_{1}H}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=3$. Do tính đối xứng qua trục $Oy$, diện tích hình phẳng cần tìm là $S=2\left(S_{OA{I}_{1}H}-{\int }_0^3\frac{x^2}{9}dx\right)=2(3-1)=4$. (Theo lời giải trang 14, mã đề 0101).