Trong mặt phẳng $Oxy$, cho elip $(E)$ có một tiêu điểm là $F_1\left(-\sqrt{3};0\right)$ và đi qua điểm $M\left(-\sqrt{3};\frac{1}{2}\right)$. Phương trình chính tắc của elip $(E)$ là

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1(-\sqrt{3};0)$ nên $c^2=3$, tức $a^2=b^2+3$. Elip đi qua $M(-\sqrt{3};\frac{1}{2})$ nên $\frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1$. Thay $a^2=b^2+3$ và nhân với $4b^2(b^2+3)$: $12b^2+(b^2+3)=4b^4+12b^2\Rightarrow 4b^4-b^2-3=0$. Đặt $t=b^2>0$: $4t^2-t-3=0\Rightarrow t=1$ (nghiệm $t=-\frac{3}{4}$ loại). Vậy $b^2=1$, $a^2=4$, phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Khớp với đáp án nguồn D.