Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(3;-4)$, $B(1;5)$, $C(3;1)$. M là trung điểm AB. Biết D đối xứng với C qua M. Tính diện tích tứ giác $ADBC$?

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên $M(2;\frac{1}{2})$. D đối xứng C qua M: $D=2M-C=(1;0)$. Diện tích tứ giác ADBC với các đỉnh theo thứ tự $A(3;-4),D(1;0),B(1;5),C(3;1)$ dùng công thức Gauss (shoelace): tổng $x_i{y}_{i+1}=3\cdot 0+1\cdot 5+1\cdot 1+3\cdot (-4)=-6$; tổng $y_i{x}_{i+1}=(-4)\cdot 1+0\cdot 1+5\cdot 3+1\cdot 3=14$. Vậy $S=\frac{1}{2}|-6-14|=10$. Kiểm tra lại: tứ giác gồm hai tam giác ADB và ACB chia nhau qua đường chéo AB; $AB=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$, khoảng cách từ D(1;0) và C(3;1) đến đường thẳng AB đều bằng $\frac{20}{\sqrt{85}}$, nên $S=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{85}\cdot \frac{20}{\sqrt{85}}=20$... cần tính lại: khoảng cách từ C(3;1) đến AB (qua A(3;-4),B(1;5), phương trình $9x+2y-19=0$): $|27+2-19|/\sqrt{85}=10/\sqrt{85}$; từ D(1;0): $|9-19|/\sqrt{85}=10/\sqrt{85}$. Suy ra $S=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{85}\cdot \frac{10}{\sqrt{85}}=10$. Kết quả khớp: $S=10$.