Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x+y-3=0$ và điểm $M(-1;3)$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$.
b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biết $\Delta$ đi qua điểm $M$ và $N(-3;-1)$.
c) Lập phương trình đường tròn $(C)$ biết tâm $I$ của đường tròn $(C)$ nằm trên đường thẳng $d$ và $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M$.

a) Khoảng cách $d(M,d)=\frac{|-1+3-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{MN}=(-2;-4)$. Suy ra 1 vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(2;-1)$. PTTQ của $\Delta$: $2(x+1)-1(y-3)=0\iff 2x-y+5=0$. c) Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Dạng phương trình của $d^{\prime }:x+2y+c=0$. Do $M\in d^{\prime }$ nên $-1+6+c=0\iff c=-5$. Phương trình đường thẳng $d^{\prime }:x+2y-5=0$. Do tâm đường tròn $(C)$ nằm trên đường thẳng $d$ và đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M$ nên $I=d\cap d^{\prime }$, xét hpt: $$\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ x+2y-5=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\Rightarrow I(1;2).$$ Do $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm $M$ nên bán kính đường tròn $(C)$ là $R=IM=\sqrt{(-1-1{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{5}$. Phương trình đường tròn $(C)$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$.