Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(-1;2)$, $B(2;1)$ và đường thẳng $\Delta :x+y-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
- a) SAI. $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);1-2)=(3;-1)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$, không phải vectơ pháp tuyến. Một vectơ pháp tuyến của $AB$ là ${\vec{n}}_1=(1;3)$.
- b) ĐÚNG. VTPT ${\vec{n}}_1=(1;3)$, đường thẳng qua $A(-1;2)$: $1(x+1)+3(y-2)=0\iff x+3y-5=0$. Kiểm tra: $A(-1;2)$: $-1+6-5=0$; $B(2;1)$: $2+3-5=0$.
- c) ĐÚNG. ${\vec{n}}_{AB}=(1;3)$, ${\vec{n}}_{\Delta }=(1;1)$:
$$\cos \alpha =\frac{|1\cdot 1+3\cdot 1|}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{10}\sqrt{2}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$
- d) ĐÚNG. $M(5;0)$ thỏa cả hai phương trình: $5+0-5=0$ (thuộc $\Delta$) và $5+3\cdot 0-5=0$ (thuộc $AB$). Hai đường thẳng không song song nên giao điểm duy nhất là $M(5;0)$.
Kết luận: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3;-1)$ là vectơ chỉ phương, không phải pháp tuyến; VTPT là $(1;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(-1;2)$ với VTPT $(1;3)$: $x+3y-5=0$, thỏa với cả $A$ và $B$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{|1+3|}{\sqrt{10}\sqrt{2}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(5;0)$ thỏa cả $\Delta$ và $AB$; hai đường không song song nên đây là giao điểm duy nhất.