Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left(5;-2\right)$, $B\left(7;3\right)$, $C\left(-9;1\right)$. Điểm $I\left(\frac{a}{b};0\right)$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) nằm trên trục $Ox$ sao cho $\left|\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right|$ ngắn nhất. Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Với $I(x;0)$ trên trục $Ox$, ta có $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI}$. Do đó $$\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-(1+3-1)\overrightarrow{OI}.$$ Tính $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=(5+21+9;-2+9-1)=(35;6)$. Vậy biểu thức cần xét là $\vec{v}=(35-3x;6)$, nên $$|\vec{v}{|}^2=(35-3x{)}^2+36\ge 36,$$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $35-3x=0\iff x=\frac{35}{3}$. Vậy $I\left(\frac{35}{3};0\right)$, tức $a=35$, $b=3$ (phân số tối giản) và $a+b=38$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (38).