Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí có tọa độ $(a;b)$ và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $A(6;-2)$, $B(2;4)$, $C(-3;1)$ nhận được cùng một thời điểm. Tính $a+b$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Tín hiệu nhận cùng lúc tại ba thiết bị nên vị trí phát $(a;b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với $A(6;-2)$, $B(2;4)$, $C(-3;1)$.

Trung trực của $AB$: trung điểm $(4;1)$, hệ số góc $AB=\frac{4+2}{2-6}=-\frac{3}{2}$ nên trung trực có hệ số góc $\frac{2}{3}$: $y-1=\frac{2}{3}(x-4)\iff 2x-3y-5=0$.

Trung trực của $BC$: trung điểm $\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$, hệ số góc $BC=\frac{1-4}{-3-2}=\frac{3}{5}$ nên trung trực có hệ số góc $-\frac{5}{3}$: $y-\frac{5}{2}=-\frac{5}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)\iff 5x+3y-5=0$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}2x-3y=5\\ 5x+3y=5\end{array}$: cộng lại $7x=10\Rightarrow x=\frac{10}{7}$, suy ra $y=\frac{5-5\cdot \frac{10}{7}}{3}=-\frac{5}{7}$.

Kiểm tra: $P{A}^2={\left(\frac{10}{7}-6\right)}^2+{\left(-\frac{5}{7}+2\right)}^2=\frac{1025}{49}$; $P{B}^2={\left(\frac{10}{7}-2\right)}^2+{\left(-\frac{5}{7}-4\right)}^2=\frac{1025}{49}$; $P{C}^2={\left(\frac{10}{7}+3\right)}^2+{\left(-\frac{5}{7}-1\right)}^2=\frac{1025}{49}$. Đúng.

Vậy $a+b=\frac{10}{7}-\frac{5}{7}=\frac{5}{7}\approx 0,7$.