Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (với 1 đơn vị đo trên trục tọa độ ứng với 1 km trên thực tế), ba trạm nhận tín hiệu được đặt tại ba vị trí $M(2;0),N(0;4),P(-7;3)$. Một trạm phát tín hiệu được xây dựng sao cho khi tín hiệu phát đi, cả ba trạm tại $M,N,P$ đều nhận được tín hiệu cùng một thời điểm (thiết bị nhận tín hiệu ở ba trạm được trang bị như nhau). Khoảng cách từ trạm phát tín hiệu tới các trạm nhận tín hiệu là bao nhiêu km?

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát phải cách đều ba trạm M, N, P nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Tìm trung trực của MN: trung điểm (1;2), hệ số góc MN = (4-0)/(0-2) = -2 nên trung trực có hệ số góc 1/2: y - 2 = (1/2)(x - 1) ⟺ x - 2y + 3 = 0. Trung trực của MP: trung điểm (-5/2; 3/2), hệ số góc MP = (3-0)/(-7-2) = -1/3 nên trung trực có hệ số góc 3: y - 3/2 = 3(x + 5/2) ⟺ 3x - y + 9 = 0. Giải hệ: x = 2y - 3, thay vào: 3(2y-3) - y + 9 = 0 ⟺ 5y = 0 ⟺ y = 0, x = -3. Tâm I(-3;0). Bán kính R = IM = √((2+3)² + 0²) = 5. Kiểm tra: IN = √(9+16) = 5, IP = √(16+9) = 5. Vậy khoảng cách từ trạm phát tới các trạm nhận là 5 km, khớp đáp án nguồn.