Trong một bể hình lập phương cạnh $1m$ có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A$, $C$ đến đáy bể tương ứng là $25cm$, $75cm$.



Tìm khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án: 50.



Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng với các trục tọa độ như hình trên. Do hình hình hộp có kích thước đáy là $1\text{m}\times 1\text{m}$ nên $A(100;0;25)$, $B(0;0;b)$, $C(0;100;75)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-100;0;b-25)$ và $\overrightarrow{AC}=(-100;100;50)$. Nên ${\vec{n}}_{(ABC)}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(2500-100b;7500-100b;-10000)=100(25-b;75-b;-100)$. Để góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất thì $\cos ((ABC),(Oxy))$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $\cos ((ABC),(Oxy))=\left|\cos \left({\vec{n}}_{(ABC)},\vec{k}\right)\right|=\frac{\left|{\vec{n}}_{(ABC)}.\vec{k}\right|}{\left|{\vec{n}}_{(ABC)}\right|\left|\vec{k}\right|}$ $=\frac{100}{\sqrt{(25-b{)}^2+(75-b{)}^2+(-100{)}^2}}=\frac{100}{\sqrt{2b^2-200b+16250}}$. Để $\cos ((ABC),(Oxy))=\frac{100}{\sqrt{2b^2-200b+16250}}$ đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức $P=2b^2-200b+16250$ đạt giá trị nhỏ nhất. Dễ thấy biểu thức $P=2b^2-200b+16250$ là một hàm số bậc hai nên đạt giá trị nhỏ nhất là $P=11250$ tại $b=50$ hay giá trị $\cos ((ABC),(Oxy))$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ khi $b=50$.