Vào đầu tháng 1 anh Huy gửi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,5\%/tháng. Từ đó, cứ vào đầu mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ hai anh Huy đến ngân hàng rút ra 30 triệu đồng để tiêu xài. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Huy rút hết tiền trong ngân hàng (tháng cuối cùng có thể rút được ít hơn 30 triệu đồng).

Đáp án: 37. Gọi số tiền anh Huy gửi vào ngân hàng ban đầu là $A$ (triệu đồng), với lãi suất $r$ / tháng, và số tiền anh rút ra hàng tháng là $m$ (triệu đồng) thì: Sau 1 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: $C_1=A(1+r)-m$. Sau 2 tháng gửi: $C_2=\left[A(1+r)-m\right](1+r)-m=A(1+r{)}^2-m(1+r)-m$. Sau 3 tháng gửi: $C_3=\left[A(1+r{)}^2-m(1+r)-m\right](1+r)-m=A(1+r{)}^3-m(1+r{)}^2-m(1+r)-m$. Sau $n$ tháng gửi: $$C_n=A(1+r{)}^n-m(1+r{)}^{n-1}-m(1+r{)}^{n-2}-\cdots -m(1+r)-m$$ $$=A(1+r{)}^n-m\cdot \frac{(1+r{)}^n-1}{r}.$$ Anh Huy rút hết tiền khi: $C_n=0\iff A(1+r{)}^n-m\cdot \frac{(1+r{)}^n-1}{r}=0$ $$\iff (m-Ar)(1+r{)}^n=m$$ $$\iff (1+r{)}^n=\frac{m}{m-Ar}$$ $$\iff n={\log }_{(1+r)}\frac{m}{m-Ar}$$ Thay $A=1000$ (triệu), $m=30$ (triệu), $r=0,5\%=0,005$, ta được $n\approx 36,6$. Tức là sau 37 tháng anh Huy sẽ rút hết tiền trong ngân hàng.