Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x-1}$ với $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}$, có đồ thị là $\left(H\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x^2+x}{x-1}=x+2+\frac{2}{x-1}$. a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$, đúng. b) Phép chia cho tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x-1$, sai. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$; $f(1+\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}$, $f(1-\sqrt{2})=3-2\sqrt{2}$. Khoảng cách $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, đúng. d) Trên $(1;+\infty )$, hàm đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ với GTNN $3+2\sqrt{2}$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=x+2$ (phần nguyên của phép chia $\frac{x^2+x}{x-1}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị $(1-\sqrt{2};3-2\sqrt{2})$ và $(1+\sqrt{2};3+2\sqrt{2})$, khoảng cách $\sqrt{8+32}=2\sqrt{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu trên $(1;+\infty )$ tại $x=1+\sqrt{2}$, giá trị $3+2\sqrt{2}$.