Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0$.

a. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-25}{x-5}& khix\ne 5\\ 9& khix=5\end{array}$ Tại $x_0=5$

b. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}& khix\ne 2\\ 1& khix=2\end{array}$ Tại $x_0=2$

c. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}& khix\ne 2\\ \frac{3}{4}& khix=2\end{array}$ Tại $x_0=2$

d. $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^4+x^2-1& khix\le -1\\ 3x+2& khix>-1\end{array}$ Tại $x_0=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục tại $x_0$ bằng cách so sánh ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ với $f(x_0)$.

a) Với $x\ne 5$: $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}=x+5$, nên ${\lim }_{x\to 5}f(x)=10$. Mà $f(5)=9\ne 10$, suy ra hàm số gián đoạn tại $x_0=5$.

b) Nhân liên hợp: $\frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}=\frac{1-(2x-3)}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\frac{4-2x}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\frac{2}{1+\sqrt{2x-3}}$. Vậy ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{2}{1+1}=1=f(2)$, hàm số liên tục tại $x_0=2$.

c) Đặt $t=\sqrt[3]{3x+2}$, khi $x\to 2$ thì $t\to 2$; từ $t^3=3x+2$ suy ra $t^3-8=3(x-2)$, tức $x-2=\frac{t^3-8}{3}$. Do đó ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{t\to 2}\frac{t-2}{\frac{t^3-8}{3}}={\lim }_{t\to 2}\frac{3(t-2)}{(t-2)(t^2+2t+4)}={\lim }_{t\to 2}\frac{3}{t^2+2t+4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Mà $f(2)=\frac{3}{4}\ne \frac{1}{4}$, hàm số gián đoạn tại $x_0=2$.

d) $f(-1)=(-1{)}^4+(-1{)}^2-1=1$. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}(x^4+x^2-1)=1$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}(3x+2)=3(-1)+2=-1$. Vì $1\ne -1$, hai giới hạn một bên không bằng nhau nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, suy ra hàm số gián đoạn tại $x_0=-1$.