Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}& khix\ne 2\\ 4& khix=2\end{array}$. Chọn mệnh đề đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$, nhân liên hợp: $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}-2}=\sqrt{x+2}+2$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4=f(2)$, nên hàm số liên tục tại $x=2$ (A đúng, B sai, D sai vì giới hạn bằng 4 chứ không phải 2). Với C: $f(4)=\frac{2}{\sqrt{6}-2}\ne 2$, sai.