Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ với $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a& khix\le 1\\ \frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}& khix>1\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty ,1]$ và $(1,+\infty )$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=1$.

Giới hạn bên trái: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2+a$.

Giới hạn bên phải: với $x>1$ ta có
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x^2+2)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x^2+2)=3.$$

Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $f(1)=2+a=3$, suy ra $a=1$.

Vậy $a=1$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.