Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{|x-1|}& \text{khi }x\ne 1\\ m& \text{khi }x=1\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. Xét tính liên tục tại $x=1$.

Với $x\ne 1$, ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Giới hạn trái: với $x<1$ thì $|x-1|=1-x=-(x-1)$, nên
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(2-x)=1.$$

Giới hạn phải: với $x>1$ thì $|x-1|=x-1$, nên
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x-2)=-1.$$

Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số gián đoạn tại $x=1$ với mọi giá trị của $m$ (kể cả khi $m=1$ hay $m=-1$ thì cũng chỉ có một giới hạn một bên bằng $f(1)$).

Với mọi $x_0\ne 1$, hàm $f$ là hàm phân thức (trên miền không đổi dấu của $|x-1|$) liên tục tại $x_0$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, đồng thời gián đoạn tại $x=1$ (gián đoạn loại I, dạng nhảy) với mọi $m$; không tồn tại $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$.