Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+2y-z+1=0$. Mặt phẳng $(P)$ có vecto pháp tuyến là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2+2x+5$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=2-t\end{array}$. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng $d$?

Nếu $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}[f(x)+2x]\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và $d_2:\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}$. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Đường thẳng $d$ đi qua $M(2;0;-1)$ và có véc tơ chỉ phương $\vec{a}=(2;-3;1)$ có phương trình

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;1;4)$, $B(2;7;9)$, $C(0;9;13)$.

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-300+80t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ $Oxyz$. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left(P\right):x+3z+1=0;\left(Q\right):2x+z+7=0$ . Tính góc (đơn vị độ) giữa $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ .

Kết quả của tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin x.dx=\frac{a-\sqrt{b}}{2}$ . Tính a+b

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 4 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét có phương trình $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{\sqrt{3}}=\frac{z}{c}$ . Tính $x_0+a+c$ .


Hình 5.32

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$. Điểm $M(5,1,c)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Tìm c.