Diện tích hình phẳng phần được gạch chéo trong hình bên bằng

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{2x},y=0,x=0,x=1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ bằng

Một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{3}x$. Thể tích của vật thể bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+z-1=0$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}(1;-2;0)$ và $\vec{b}(-1;3;1)$. Vectơ $\left[\vec{a},\vec{b}\right]$ có toạ độ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $(Oyz)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y-z+1=0$. Điểm nào dưới đây **không** thuộc $(P)$?

Cho hàm số $f(x)=3x^2+1$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=4,{\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_0^{3}g(x)\text{d}x=-2$.

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-2$ và $g(x)=d{x}^2+ex+2(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị của hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1$ (tham khảo hình vẽ).

Trong không gian $Oxyz$, gọi mặt phẳng $(P)$ là sân trường Ngô Gia Tự; hai điểm $A(4;1;3),B(1;-2;3)$ lần lượt nằm trên đỉnh nóc toà nhà hiệu bộ và đỉnh nóc toà nhà thí nghiệm thực hành; điểm $C(1;-2;0)$ là chân cột cờ trên sân trường.

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $v(t)=3t+5(\text{m/s})$, với $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau $30$ giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Một ô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì người lái xe đạp thắng. Sau khi đạp thắng, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-40t+20(\text{m/s})$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp thắng. Hỏi từ lúc đạp thắng đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;6]$ và có đồ thị là đường gấp khúc như hình bên. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[-1;6]$ và thỏa mãn $F(-1)=-2$. Giá trị của $F(4)+F(6)$ bằng bao nhiêu?

Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn nhất là $360\text{ km/h}$. Đồ thị bên biểu thị vận tốc $v$ của xe trong $5$ giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong $2$ giây đầu là một phần của một parabol đỉnh tại gốc tọa độ $O$, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị $1$ giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị $10\text{ m/s}$ và trong $5$ giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong $5$ giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?

Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5\text{m}$. Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết $100$ nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó $AB=6\text{m}$.

Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y-z+1=0$ và hai điểm $A(1;-1;2),B(2;-1;1)$. Mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình $ax+by+cz-3=0$. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?