Câu 1. (5 điểm) Gọi $D$ là tập hợp tất cả các bộ số thực dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $xyz=1$. Cho $k$ là số thực và xét biểu thức
$$F(x,y,z)=\frac{1}{k+x}+\frac{1}{k+y}+\frac{1}{k+z}.$$
a) Với $k=\frac{1}{2}$, chứng minh rằng $F(x,y,z)\ge 2$ với mọi $(x,y,z)\in D$.
b) Tìm tất cả các số thực dương $k$ sao cho ở trên $D$ biểu thức trên đạt được giá trị nhỏ nhất.

Cho số nguyên dương $k>1$. Giả sử phân số $\frac{1}{k}$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ cơ sở gồm 8 chữ số như sau:
$$\frac{1}{k}=0,\left(\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}\right).$$
a) Chứng minh rằng $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8=36$.
b) Chứng minh rằng 8 chữ số $a_1,a_2,\dots ,a_8$ không thể đôi một khác nhau.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Giả sử tia $BA$ và tia $CD$ cắt nhau tại $E$, tia $DA$ và tia $CB$ cắt nhau tại $F$. Gọi $M,L$ lần lượt là trung điểm của $BD,CA$. Gọi $K$ là giao điểm của các đường phân giác trong của $\widehat{AED},\widehat{AFB}$.
a) Gọi $N,N^{\prime }$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $E$ trên $BC,AD$. Chứng minh rằng $ML$ là đường trung trực của đoạn thẳng $N{N}^{\prime }$.
b) Gọi $H$ là hình chiếu của $F$ trên $DC$. Chứng minh rằng $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $NLH$.

Câu 4. (5 điểm) Trong một giải cờ vua, có 20 vận động viên tham gia. Mỗi vòng, các vận động viên được chia thành 10 cặp thi đấu với nhau. Hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau không quá một lần. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn: Sau 3 vòng đấu, bất kể cách chia cặp đấu ra sao, có thể chắc chắn chọn ra $k$ vận động viên đôi một chưa từng thi đấu với nhau?