Câu 1 (2,0 điểm):
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\sqrt{\cos x+1}-3$.
b) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{\frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha }}+\sqrt{\frac{1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha }}$, cho biết $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Câu 2 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) $2{\cos }^{2}x-3\sin x=0$.
b) $\frac{1}{2}{\log }_2(x-1{)}^2+{\log }_2(x+1)={\log }_2(5-x)$.

Câu 3 (2,0 điểm):
a) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+1}{x-1}=16$. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x^2+x)f(x)+2}{x-1}$.
b) Học sinh Nam tới Hội chợ Xuân 2025 và tham gia trò chơi ném bóng, mỗi lần ném người chơi phải đặt cược một số tiền sau đó mới được chơi. Lần chơi đầu tiên Nam đặt 20 000 đồng, mỗi lần chơi tiếp theo tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cược trước. Nam chơi thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi Nam thắng hay thua bao nhiêu tiền?

Câu 4 (1,0 điểm):
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a,b$ là các số thực bất kì. Xét hàm số $g(x)=f(a)+f(b)-2f(x)$. Chứng minh rằng phương trình $g(x)=0$ luôn có nghiệm thực.

Câu 5 (1,0 điểm):
Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện $5x-y$, $2x-3y$, $x+2y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng, và các số $(y+1{)}^2$, $xy+1$, $(x-1{)}^2$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm $x,y$.