1. Cho tam giác ABC đều tâm O. Lấy M tùy ý nằm trong tam giác ABC. Gọi F, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$
2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 5, M là điểm cố định cách O một đoạn bằng 7. Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn đi qua M và cắt (O) tại hai điểm phân biệt A và B. Tính $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu V.1: Đặt hệ trục tọa độ gốc O, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Lấy $A(0;R),B(-\frac{a}{2};-\frac{R}{2}),C(\frac{a}{2};-\frac{R}{2})$. Ba cạnh có phương trình: $BC:y=-\frac{R}{2}$; $CA:\sqrt{3}x+y=R$; $AB:-\sqrt{3}x+y=R$. Với $M(x;y)$, hình chiếu: $D(x;-\frac{R}{2})$; $E=M-\frac{\sqrt{3}x+y-R}{4}(\sqrt{3};1)=\left(\frac{x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}R}{4};\frac{3y-\sqrt{3}x+R}{4}\right)$; $F=M-\frac{-\sqrt{3}x+y-R}{4}(-\sqrt{3};1)=\left(\frac{x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}R}{4};\frac{3y+\sqrt{3}x+R}{4}\right)$. Cộng tung độ: $x+\frac{2x}{4}=\frac{3x}{2}$; cộng hoành độ: $-\frac{R}{2}+\frac{6y+2R}{4}=\frac{3y}{2}$. Vậy $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OM}$. Do đó $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OM})=\frac{3}{2}\overrightarrow{OM}-3\overrightarrow{OM}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{OM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$. Đpcm. Câu V.2: Gọi I là trung điểm AB, khi đó I là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})\cdot (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})=M{I}^2-I{A}^2$. Vì $MI\perp OI$: $M{I}^2=O{M}^2-O{I}^2=49-O{I}^2$; vì tam giác OAB cân tại O: $I{A}^2=O{A}^2-O{I}^2=25-O{I}^2$. Suy ra $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=(49-O{I}^2)-(25-O{I}^2)=O{M}^2-R^2=49-25=24$. (Kiểm tra: M ngoài đường tròn nên A, B cùng phía so với M, tích vô hướng dương, hợp lý.) Kết quả không phụ thuộc vị trí đường thẳng d.