1. Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì, ta có: sinC = sinA.cosB + sinB.cosA
2. Cho tam giác ABC có a = 2b.cosC và $\frac{a^3+c^3-b^3}{a+c-b}=b^2$. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều
3. Cho tam giác ABC có 2a + 2b + 2c = $3(2+\sqrt{6}+\sqrt{2})$, A = $60^0$, C = $45^0$. Tìm a, b, c

1) (2 điểm) Áp dụng định lí sin và cosin trong tam giác ABC ta có
$$VP=\frac{a}{2R}.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{b}{2R}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
$$=\frac{1}{2R}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)=\frac{c}{2R}=\sin C=VT\text{ (đpcm)}$$

2) (2 điểm) Từ a = 2b.cosC, áp dụng định lí cosin ta có
$$a=2b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\iff a^2=a^2+b^2-c^2\iff b=c(1)$$
Thay b = c vào $\frac{a^3+c^3-b^3}{a+c-b}=b^2$ ta có $a^2=b^2$ hay a = b (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra ABC đều

3) (1 điểm) Ta có B = 75⁰. Áp dụng định lí sin ta được $\frac{a}{\sin 60^o}=\frac{b}{\sin 75^o}=\frac{c}{\sin 45^o}$
$$\iff \frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2b}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}=\frac{2c}{\sqrt{2}}$$
Theo dãy tỉ số bằng nhau ta có $\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2b}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}=\frac{2c}{\sqrt{2}}=\frac{2(a+b+c)}{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}$
Suy ra a = 3, $b=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$, $c=\sqrt{6}$