(1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC$, $SC$ sao cho $\frac{BM}{BC}=\frac{SN}{SC}=\frac{1}{3}$.
a) Chứng minh $(GMN)//(SBD)$.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SDC)$ và mặt phẳng $(GMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: lấy $B$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{BD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{BS}=\vec{s}$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{3}$; $M\in BC$ với $BM=\frac{1}{3}BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{\vec{c}}{3}$; $N\in SC$ với $SN=\frac{1}{3}SC$ nên $\overrightarrow{BN}=\vec{s}+\frac{\vec{c}-\vec{s}}{3}=\frac{2\vec{s}+\vec{c}}{3}$.

a) Ta có:
$$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BG}=\frac{\vec{c}}{3}-\frac{\vec{c}+\vec{d}}{3}=-\frac{\vec{d}}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BD},$$
suy ra $GM\parallel BD\subset (SBD)$, do đó $GM\parallel (SBD)$.
Lại có:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac{2\vec{s}+\vec{c}}{3}-\frac{\vec{c}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BS},$$
suy ra $MN\parallel SB\subset (SBD)$, do đó $MN\parallel (SBD)$.
Hai đường thẳng $GM$ và $MN$ cắt nhau tại $M$ và cùng song song với mặt phẳng $(SBD)$, mặt phẳng $(GMN)$ không trùng $(SBD)$, vậy $(GMN)\parallel (SBD)$. (Điều này cũng đúng theo định lí Thales: trong tam giác $SBC$, $\frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CS}=\frac{2}{3}$ nên $MN\parallel SB$.)

b) Vì $(GMN)\parallel (SBD)$, hai mặt phẳng này cùng cắt mặt phẳng $(SDC)$, nên giao tuyến của $(GMN)$ với $(SDC)$ song song với giao tuyến của $(SBD)$ với $(SDC)$, tức song song với $SD$ (vì $(SBD)\cap (SDC)=SD$).
Mặt khác, vectơ $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BS}$ là tổ hợp của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BS}$ của $(GMN)$, nên phương $SD$ nằm trong $(GMN)$; và $N\in SC\subset (SDC)$, $N\in (GMN)$.
Vậy giao tuyến của $(SDC)$ và $(GMN)$ là đường thẳng $d$ đi qua $N$ và song song với $SD$ (đường thẳng qua $N$, $N\in SC$, $d\parallel SD$).