(1,0 điểm) Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$.

a) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-2-2x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}\ne \frac{3}{(x-1{)}^2}$. → Sai.

c) Vì $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. → Đúng.

d) Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ (tỉ số hệ số cao nhất $a/b=2/1=2$), cắt trục tung tại $f(0)=1$ và cắt trục hoành tại $x=1/2$, nghịch biến trên từng khoảng — khớp với hình vẽ. → Đúng.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-1\ne 0\iff x\ne 1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{3}{(x-1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol với tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, đi qua $(0;1)$ và $(1/2;0)$, nghịch biến trên từng khoảng — khớp hình vẽ.