[2, Góc nhị diện] Cho tứ diện $ABCD$ có $BCD$ là tam giác vuông tại đỉnh $B$, cạnh $CD=a$, $BD=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $AB=AC=AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính góc nhị diện $[A,BC,D]$

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hệ trục: $B=(0;0;0)$, $C=\left(\frac{a\sqrt{3}}{3};0;0\right)$, $D=\left(0;\frac{a\sqrt{6}}{3};0\right)$ (vì $BCD$ vuông tại $B$, $BC=\sqrt{C{D}^2-B{D}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$). Từ $AB=AC=AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $A=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, $K$ là trung điểm $CD$: $AH\perp BC$, $HK\parallel BD\perp BC$ nên $BC\perp (AHK)$, góc nhị diện $[A,BC,D]$ là góc $AHK$. Ta có $\overrightarrow{HA}=\left(0;\frac{a\sqrt{6}}{6};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$, $\overrightarrow{HK}=\left(0;\frac{a\sqrt{6}}{6};0\right)$, $|HA|=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $|HK|=\frac{a\sqrt{6}}{6}$, nên $\cos \widehat{AHK}=\frac{a^2/6}{a^2/3}=\frac{1}{2}$, suy ra góc nhị diện bằng $\frac{\pi }{3}$.