(2.0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 1, AC = 2, BAC = 120 và SA (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC và là góc tạo bởi đường thẳng SA với mặt phẳng (AMN) sao cho = 21 7 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: Ta có: Dựng điểm H trên mặt phẳng (ABC) sao cho HBA = HCA = 90 . Gọi O là giao điểm của AH và BC. Khi đó ta có tứ giác ABHC nội tiếp. Do đó BHC = 180 - BAC = 180 - 120 = 60 . Ta có: Do ACB và BCH là hai góc nhọn phụ nhau nên ACB = BCH = 5 7 14 . Áp dụng định lý Sin cho tam giác BCH, ta có: Vậy theo định lý Pythagore, ta được: Gọi O là giao điểm của AH và BC; F là giao điểm của SO và MN; E là giao điểm của AF và SH. Ta có: Hoàn toàn tương tự, ta được AN SH nên SH (AMN). Do E SH nên SE AMN. Vậy SE EA. Khi đó ta được (SA,(AMN)) = (SA,EA) = SAE = . Trong tam giác SAH vuông tại A có AE là đường cao, ta có: AE.SH = AS.AH AE = AS.AH SH = AS. 2 21 3 SA 2 + AH 2 = AS. 2 21 3 SA 2 + 28 3 . Ta có: = 21 7 = 2 7 7 . Khi đó ta được: Ta có: Mặt khác, ta có: Vậy ta được:

Câu 19HSG

Thuộc đề: Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Cấp Tỉnh Lâm Đồng Toán 2025-2026

(2.0 điểm) Cho hình chóp tam giác $S . A B C$ có $A B = 1, A C = 2$ , $B A C = 12 0^{\circ}$ và $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $S B, S C$ và $α$ là góc tạo bởi đường thẳng $S A$ với mặt phẳng $(A M N)$ sao cho $sin α = \frac{21}{7}$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ .

Câu 18 Câu 20

Đáp án chính thức: Tự luận

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

B C = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . cos B A C = 1^{2} + 2^{2} - 2.1.2. cos 12 0^{\circ} = 7

Dựng điểm

H

trên mặt phẳng

(A B C)

sao cho

H B A = H C A = 9 0^{\circ}

. Gọi

O

là giao điểm của

A H

và

B C

. Khi đó ta có tứ giác

A B H C

nội tiếp. Do đó

B H C = 18 0^{\circ} - B A C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

. Ta có:

cos A C B = \frac{C A ^{2} + C B ^{2} - A B ^{2}}{2 C A . C B} = \frac{2 ^{2} + 7 ^{2} - 1 ^{2}}{2.2. 7} = \frac{5}{2 7} = \frac{5 7}{14}

A C B

và

B C H

là hai góc nhọn phụ nhau nên

cos A C B = sin B C H = \frac{5 7}{14}

.
Áp dụng định lý Sin cho tam giác

B C H

, ta có:

\frac{B H}{sin B C H} = \frac{B C}{sin B H C} \Rightarrow B H = B C . \frac{sin B C H}{sin B H C} = 7 . \frac{\frac{5 7}{14}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3} = \frac{5 3}{3}

Vậy theo định lý Pythagore, ta được:

A H^{2} = A B^{2} + B H^{2} = 1^{2} + (\frac{5 3}{3})^{2} = \frac{84}{9} \Rightarrow A H = \frac{2 21}{3}

Gọi

O

là giao điểm của

A H

và

B C

;

F

là giao điểm của

S O

và

M N

;

E

là giao điểm của

A F

và

S H

.
Ta có:

⎩ ⎨ ⎧ A M ⊥ S B {B H ⊥ A B B H ⊥ S A \Rightarrow B H ⊥ (S A B) \Rightarrow B H ⊥ A M \Rightarrow A M ⊥ (S B H) \Rightarrow A M ⊥ S H

Hoàn toàn tương tự, ta được

A N ⊥ S H

nên

S H ⊥ (A M N)

.
Do

E \in S H

nên

S E ⊥ A M N

. Vậy

S E ⊥ E A

. Khi đó ta được

(S A, (A M N)) = (S A, E A) = S A E = α

.
Trong tam giác

S A H

vuông tại

A

có

A E

là đường cao, ta có:

A E . S H = A S . A H \Rightarrow A E = \frac{A S . A H}{S H} = \frac{A S . \frac{2 21}{3}}{S A ^{2} + A H ^{2}} = \frac{A S . \frac{2 21}{3}}{S A ^{2} + \frac{28}{3}}

.
Ta có:

sin α = \frac{21}{7} \Rightarrow cos α = \frac{2 7}{7}

. Khi đó ta được:

\frac{\frac{2 21}{3}}{S A ^{2} + \frac{28}{3}} = \frac{A E}{A S} = cos α = \frac{2 7}{7}

Ta có:

\frac{\frac{2 21}{3}}{S A ^{2} + \frac{28}{3}} = \frac{2 7}{7} \Leftrightarrow \frac{\frac{2 21}{3} . \frac{7}{2 7}}{S A ^{2} + \frac{28}{3}} = 1 \Leftrightarrow S A^{2} + \frac{28}{3} = \frac{7 3}{3}

\Leftrightarrow S A^{2} + \frac{28}{3} = \frac{49}{3} \Leftrightarrow S A^{2} = 7 \Leftrightarrow S A = 7

Mặt khác, ta có:

S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C . sin B A C = \frac{1}{2} .1.2. sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

Vậy ta được:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . 7 . \frac{3}{2} = \frac{21}{6}

Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Cấp Tỉnh Lâm Đồng Toán 2025-2026

Các câu hỏi khác trong đề (23 câu)