a) Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt bên là hình thoi cạnh $2\sqrt{6}$, các góc $\widehat{BA{A}^{\prime }}=\widehat{BAD}=\widehat{DA{A}^{\prime }}=60^{\circ }$. Tính độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }$.
b) Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Một đường thẳng $\Delta$ cắt các đường thẳng $A{A}^{\prime },BC,C^{\prime }{D}^{\prime }$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{NP}$. Tính $\frac{\overline{MA}}{\overline{M{A}^{\prime }}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=2\sqrt{6}$ và góc giữa từng cặp vectơ đều bằng $60^{\circ }$, nên mỗi tích vô hướng bằng $2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}\cdot \cos 60^{\circ }=24\cdot \frac{1}{2}=12$. Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$, do đó $A{C}^{\prime 2}=|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2+|\vec{w}{|}^2+2(\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}+\vec{v}\cdot \vec{w})=3\cdot 24+2\cdot 3\cdot 12=72+72=144$. Vậy $A{C}^{\prime }=12$.

Câu b) Chọn $A$ làm gốc, $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{d}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $B$ có vectơ $\vec{b}$, $C$ có $\vec{b}+\vec{d}$, $C^{\prime }$ có $\vec{u}+\vec{b}+\vec{d}$. Gọi $N$ trên $BC$: $\overrightarrow{AN}=\vec{b}+t\vec{d}$; $P$ trên $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{AP}=\vec{u}+\vec{b}+(1-s)\vec{d}$; $M$ trên $A{A}^{\prime }$: $\overrightarrow{AM}=m\vec{u}$. Từ $\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{NP}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=2\vec{u}+(2-2s-t)\vec{d}$. Vì $M$ thuộc $A{A}^{\prime }$ nên hệ số của $\vec{d}$ phải bằng 0: $t=2(1-s)$, và $m=2$, tức $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (điểm $M$ nằm ngoài đoạn $A{A}^{\prime }$, phía sau $A^{\prime }$, với $AM=2A{A}^{\prime }$). Trên trục $A{A}^{\prime }$ lấy tọa độ $A=0$, $A^{\prime }=1$, $M=2$: $\overline{MA}=0-2=-2$, $\overline{M{A}^{\prime }}=1-2=-1$, do đó $\frac{\overline{MA}}{\overline{M{A}^{\prime }}}=\frac{-2}{-1}=2$.