a) Giải phương trình: $2\sin 2x+1=0$.
b) Tìm các nghiệm của phương trình $\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ trên đoạn $[3\pi ;5\pi ]$.

a) Phương trình: $2\sin 2x+1=0\iff \sin 2x=\frac{-1}{2}\iff \sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ $\iff [<table><tbody><tr><td>2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})\iff [<table><tbody><tr><td>x=-\frac{\pi }{12}+k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{7\pi }{12}+k\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{7\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giải phương trình: $\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Do $3\pi \le x\le 5\pi \Rightarrow 3\pi \le \frac{\pi }{12}+k\pi \le 5\pi \iff \frac{35}{12}\le k\le \frac{59}{12}$. Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=3,4$. Khi đó tìm được: $x=\frac{37\pi }{12},x=\frac{49\pi }{12}$.