Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=\left(x^2-2x+2\right)e^x$; b) $y={\log }_2\left(2x+e^x\right)$; c) $y=\frac{x+1}{2^x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Tính đạo hàm.

a) $y=(x^2-2x+2)e^x$. Theo quy tắc tích:
$$y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=(x^2-1)e^x.$$

b) $y={\log }_2(2x+e^x)$, với $2x+e^x>0$ với mọi $x$. Theo quy tắc hàm hợp:
$$y^{\prime }=\frac{(2x+e^x{)}^{\prime }}{(2x+e^x)\ln 2}=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}.$$

c) $y=\frac{x+1}{2^x}=(x+1)2^{-x}$. Theo quy tắc tích:
$$y^{\prime }=2^{-x}+(x+1)\cdot 2^{-x}\ln 2\cdot (-1)=2^{-x}\left[1-(x+1)\ln 2\right].$$

Vậy:
- a) $y^{\prime }=(x^2-1)e^x$;
- b) $y^{\prime }=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}$;
- c) $y^{\prime }=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$.