Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y={\left(x^3-2x^2\right)}^{2024}$;
b) $y=x\sqrt{x^2-2x}$;
c) $y=e^{2x+1}\sin 2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (trang 24) tính đạo hàm ba hàm số.

a) $y={\left(x^3-2x^2\right)}^{2024}$. Đặt $u=x^3-2x^2$, $u^{\prime }=3x^2-4x$. Theo quy tắc hàm hợp ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$:
$$y^{\prime }=2024{\left(x^3-2x^2\right)}^{2023}\left(3x^2-4x\right).$$

b) $y=x\sqrt{x^2-2x}$, xác định với $x^2-2x\ge 0$ tức $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Theo quy tắc tích với $u=x$, $v=\sqrt{x^2-2x}$, $v^{\prime }=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$:
$$y^{\prime }=\sqrt{x^2-2x}+x\cdot \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{\left(x^2-2x\right)+\left(x^2-x\right)}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{2x^2-3x}{\sqrt{x^2-2x}}.$$ (Tại $x=0$ và $x=2$ đạo hàm hữu hạn vẫn tồn tại theo nghĩa giới hạn: tại $x=0$, $y^{\prime }\to 0$; tại $x=2$, $y^{\prime }\to 2$.)

c) $y=e^{2x+1}\sin 2x$. Theo quy tắc tích với $u=e^{2x+1}$, $u^{\prime }=2e^{2x+1}$; $v=\sin 2x$, $v^{\prime }=2\cos 2x$:
$$y^{\prime }=2e^{2x+1}\sin 2x+2e^{2x+1}\cos 2x=2e^{2x+1}\left(\sin 2x+\cos 2x\right).$$

Kiểm tra: a) $u^{\prime }=3x^2-4x$ đúng; b) quy đồng mẫu số đúng vì $\sqrt{x^2-2x}\cdot \sqrt{x^2-2x}=x^2-2x$; c) nhân tử chung $2e^{2x+1}$ đúng. Kết quả nhất quán.