Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(m+3)x^2+2x+m$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tam thức bậc hai $2x^2-(m+3)x+2$ dương với mọi $x$, tức là $a=2>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =(m+3{)}^2-16<0\iff -4<m+3<4\iff -7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$.