Bạn Nga có một tấm bìa hình vuông cạnh 20 cm. Bạn muốn cắt ở mỗi góc một hình vuông nhỏ để gấp và dán lại thành một cái hộp đựng đồ dùng học tập không có nắp (mép dán không đáng kể).
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f2]
Để cái hộp có thể tích lớn nhất thì hình vuông nhỏ cắt đi có độ dài cạnh là

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông cắt ở mỗi góc, với $0<x<10$. Khi gấp lại, hộp có đáy là hình vuông cạnh $20-2x$ và chiều cao $x$, nên thể tích $V(x)=x(20-2x{)}^2$. Ta có $V^{\prime }(x)=(20-2x{)}^2-4x(20-2x)=(20-2x)(20-6x)$. Trên $(0;10)$, $V^{\prime }(x)=0$ khi $x=\frac{10}{3}$. Với $0<x<\frac{10}{3}$ thì $V^{\prime }(x)>0$, với $\frac{10}{3}<x<10$ thì $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{10}{3}$. Vậy cạnh hình vuông nhỏ cần cắt là $\frac{10}{3}$ cm, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 1702, câu 12: A).