Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt bên $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ là tâm đáy, $S.O=a\sqrt{2}$, khoảng cách từ $O$ đến $CD$ bằng $\frac{a}{2}$. Trong mặt phẳng $(SCD)$, gọi $M$ là trung điểm $CD$, tam giác $SCD$ cân nên $SM\perp CD$ và $SM=\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{3a}{2}$. Diện tích $△SCD=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3a^2}{4}$. Thể tích khối chóp $S.ACD$ (nửa khối chóp theo đường chéo $AC$): $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. Khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$: $d=\frac{3V}{S_{SCD}}=\frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{2}}{\frac{3a^2}{4}}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$. Kiểm tra bằng tọa độ: $A(0,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),S\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right)$, mặt phẳng $(SCD)$: $\sqrt{2}y+\frac{z}{2}=a\sqrt{2}$, khoảng cách từ $A$ là $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2+1/4}}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.