Biết rằng đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$ được cho như hình vẽ bên.



Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)=[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)\cdot f^{\prime \prime }(x)$ và trục hoành.

Xét phương trình $g(x)=0⟺[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)f^{\prime \prime }(x)=0$.
Nhận xét đạo hàm của thương: ${\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime \prime }(x)f(x)-[f^{\prime }(x){]}^2}{[f(x){]}^2}=-\frac{g(x)}{[f(x){]}^2}$.
Dựa vào đồ thị, hàm số $f(x)$ có 4 nghiệm thực phân biệt $x_1<x_2<x_3<x_4$.
Phân tích phân thức $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}={\sum }_{i=1}^4\frac{1}{x-x_i}$.
Đạo hàm: ${\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^{\prime }=-{\sum }_{i=1}^4\frac{1}{(x-x_i{)}^2}<0,\forall x\ne x_i$.
Do đó $-\frac{g(x)}{[f(x){]}^2}<0⟺g(x)>0,\forall x\ne x_i$.
Tại các nghiệm $x_i$, $f(x_i)=0⟹g(x_i)=[f^{\prime }(x_i){]}^2>0$ (vì nghiệm đơn).
Vậy $g(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=g(x)$ không cắt trục hoành (có 0 giao điểm). Chọn B.