Biết rằng hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+4x+3}{x+3}& \text{khi }x>-3\\ mx+m+2& \text{khi }x\le -3\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $m$ là một số thực. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đáp án Mã 112 Phần II Câu 2: SĐĐS (a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai). Với $x>-3$: $f(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{x+3}=x+1$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=-2$ (ý c Đúng). Với $x\le -3$: $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-2m+2$ (ý a Sai vì không bằng $-3m+2$). Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $-2m+2=-2\Rightarrow m=2$ (ý b Đúng). $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3\ne 4$ (ý d Sai).
a) Với $x\le -3$: $f(x)=mx+m+2$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-3m+m+2=-2m+2\ne -3m+2$ → Sai.
b) Với $x>-3$: $\frac{x^2+4x+3}{x+3}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+3}=x+1$ (với $x\ne -3$), nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=-2$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $-2m+2=-2\Rightarrow m=2$ → Đúng.
c) Với $x>-3$: $f(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{x+3}=x+1$, do đó $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=-3+1=-2$ → Đúng.
d) Vì $2>-3$ nên $f(x)=x+1$, suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=2+1=3\ne 4$ → Sai.