Bộ phận chiến lược của một công ty ước tính trong năm $t$ số lượng nhân viên được xác định bởi công thức $E(t)=20t-38100$ (nhân viên) và tổng quỹ lương của công ty được xác định bởi công thức $S(t)=\sqrt{t^2-2025(t-26)-300}$ (tỷ đồng), với $t\ge 2025$. Khi đó, mức lương trung bình của nhân viên trong công ty được tính theo công thức $\frac{S(t)}{E(t)}$. Dự kiến sớm nhất vào năm nào thì mức lương trung bình của nhân viên trong công ty đạt mức 100 triệu đồng?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S(t)=\sqrt{t^2-2025(t-26)-300}=\sqrt{t^2-2025t+52350}$ (tỷ đồng) và $E(t)=20t-38100$ (nhân viên), với $t\ge 2025$.

Mức lương trung bình (đồng/nhân viên) là $\frac{S(t)\cdot 10^9}{E(t)}$. Yêu cầu mức lương trung bình đạt 100 triệu đồng $=100\cdot 10^6$ đồng, tức là:
$$\frac{S(t)\cdot 10^9}{20t-38100}=100\cdot 10^6⟺S(t)=0,1(20t-38100)=2t-3810.$$

Điều kiện: $2t-3810\ge 0⟺t\ge 1905$ (thỏa mãn vì $t\ge 2025$). Bình phương hai vế:
$$t^2-2025t+52350=(2t-3810{)}^2=4t^2-15240t+14516100$$
$$⟺3t^2-13215t+14463750=0⟺t^2-4405t+4821250=0.$$

Biệt thức $\Delta =4405^2-4\cdot 4821250=19404025-19285000=119025=345^2$.
$$t=\frac{4405\pm 345}{2}\Rightarrow t=2030\text{ hoặc }t=2375.$$

Cả hai giá trị đều thỏa $t\ge 2025$, chọn giá trị nhỏ nhất để sớm nhất: $t=2030$.

Kiểm tra: tại $t=2030$: $E(2030)=20\cdot 2030-38100=2500$ nhân viên; $S(2030)=\sqrt{2030^2-2025\cdot 2030+52350}=\sqrt{62500}=250$ tỷ đồng. Mức lương trung bình $=\frac{250\cdot 10^9}{2500}=100$ triệu đồng. Đúng.

Vậy dự kiến sớm nhất vào năm $2030$ mức lương trung bình của nhân viên đạt mức 100 triệu đồng.