Trong mặt phẳng $Oxy$, tiếp tuyến của đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ tại điểm $A(5;1)$ có phương trình:

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y-12=0$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{4+9+12}=5$. Kiểm tra $A(5;1)$: $IA=\sqrt{(5-2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5=R$, nên $A$ thuộc $(C)$. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$ là $\overrightarrow{IA}=(3;4)$, nên tiếp tuyến có phương trình: $3(x-5)+4(y-1)=0\iff 3x+4y-19=0$. Vậy đáp án C.