Câu 2. Bác An có một mảnh đất vườn diện tích $6\text{ hecta}$. Bác dự tính trồng cà chua và bắp cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng bắp thì bác An cần $10\text{ ngaˋy}$ để trồng một hecta. Nếu trồng cà chua thì bác An cần $20\text{ ngaˋy}$ để trồng một hecta. Biết rằng mỗi hecta bắp sau thu hoạch bán được $30\text{ triệu đoˆˋng}$, mỗi hecta cà chua sau thu hoạch bán được $50\text{ triệu đoˆˋng}$ và bác An chỉ còn $100\text{ ngaˋy}$ để canh tác cho kịp mùa vụ. Hỏi số tiền (triệu đồng) nhiều nhất mà bác An có thể thu được sau mùa vụ này là bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 2 (Phần III) có đáp số là $260$.

Gọi $x,y$ lần lượt là số hecta bắp và cà chua mà bác An trồng ($x,y\ge 0$).
Theo giả thiết, ta có hệ bất phương trình ràng buộc:
$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 6\\ 10x+20y\le 100\iff x+2y\le 10\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một tứ giác lồi với các đỉnh:
- $O(0;0)$
- $A(0;5)$ (giao điểm của $x=0$ và $x+2y=10$)
- $B(2;4)$ (giao điểm của $x+y=6$ và $x+2y=10$)
- $C(6;0)$ (giao điểm của $x+y=6$ và $y=0$)

Số tiền thu được là hàm số bậc nhất $F(x,y)=30x+50y$ (triệu đồng).
Giá trị của $F$ tại các đỉnh:
- $F(O)=0$
- $F(A)=30(0)+50(5)=250$
- $F(B)=30(2)+50(4)=60+200=260$
- $F(C)=30(6)+50(0)=180$

Vậy số tiền nhiều nhất mà bác An có thể thu được là $260\text{ triệu đoˆˋng}$ khi trồng $2\text{ ha}$ bắp và $4\text{ ha}$ cà chua.