Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 3, góc $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$. Biết góc nhị diện $[M,AC,N]$ bằng $120^{\circ }$, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$. (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 1101, trang 13-14), Câu 2 (Phần III) có kết quả là: 1,1.



Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O=AC\cap BD$.
Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh 3 và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh 3, suy ra $AC=3$, $OB=OD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Tọa độ các đỉnh: $A\left(-\frac{3}{2};0;0\right),C\left(\frac{3}{2};0;0\right),B\left(0;\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right),D\left(0;-\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$.
Gọi $SA=h>0$, ta có $S\left(-\frac{3}{2};0;h\right)$.
Từ điều kiện góc nhị diện $[M,AC,N]=120^{\circ }$, suy ra góc giữa $(MAC)$ và $(NAC)$ bằng $60^{\circ }$.
Giải phương trình tìm được $h=\frac{3}{2}$.
Phương trình mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $S,B,D$ là: $x+z=0$.
Khoảng cách từ điểm $C\left(\frac{3}{2};0;0\right)$ đến $(SBD)$ là:
$d(C,(SBD))=\frac{|\frac{3}{2}+0|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\approx 1,06\approx 1,1$.