Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $AB=a$, đường cao $SO$ vuông góc với mặt đáy và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$; $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SN$. (0,25 điểm)
Vì $AB//CD$ nên $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(M,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)$ (vì $O$ là trung điểm đoạn $MN$) (0,25 điểm)
Ta có $\{\begin{array}{l}CD\perp SO\\ CD\perp ON\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SON\right)\Rightarrow CD\perp OH$ (0,25 điểm)
Khi đó $\{\begin{array}{l}CD\perp OH\\ OH\perp SN\end{array}\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=OH$.
Tam giác $SON$ vuông tại $O$ nên
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{N}^2}+\frac{1}{O{S}^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{4}}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a}{\sqrt{5}}.$$
Vậy $d\left(AB,SC\right)=2OH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.