Câu 3: Tháp giải nhiệt tại một nhà máy điện hạt nhân có hình dạng là một phần của khối tròn xoay khi cho hypebol $(H)$ quay quanh một trục đối xứng của $(H)$. Tháp có chiều cao là $120$ mét, bán kính đáy dưới bằng $40$ mét. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Oy$ làm trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Gốc $O$ ở vị trí có độ cao $80$ mét so với mặt đất và đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30$ mét.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 11), Câu 3 (Phần II, câu 15): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

- a) ĐÚNG: Bán kính đáy dưới là $R=40\text{ m}$. Diện tích đáy dưới của tháp là: $S=\pi R^2=\pi \cdot 40^2=1600\pi \approx 5026,55\approx 5027{\text{ m}}^2$.

- b) SAI: Giao của hypebol với trục $Ox$ có độ dài $30\text{ m}$, do tính đối xứng qua $Oy$ nên tại $y=0$ ta có $x=\pm 15$. Vậy các điểm $(-15;0)$ và $(15;0)$ thuộc $(H)$, không phải $(\pm 20;0)$.

- c) SAI: Phương trình của hypebol có dạng $\frac{x^2}{15^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Chiều cao tháp là $120\text{ m}$, gốc $O$ ở độ cao $80\text{ m}$ nên mặt đất tương ứng $y=-80$, đỉnh trên tương ứng $y=40$. Đáy dưới có bán kính $40\text{ m}$ nên điểm $(40;-80)$ thuộc $(H)$:
$\frac{40^2}{15^2}-\frac{(-80{)}^2}{b^2}=1⟹\frac{1600}{225}-1=\frac{6400}{b^2}⟹\frac{1375}{225}=\frac{6400}{b^2}⟹b^2=\frac{57600}{55}\approx 1047,27.$
Phương trình đúng là $\frac{x^2}{15^2}-\frac{y^2}{\frac{57600}{55}}=1$. Mệnh đề cho mẫu số là $11520$ là sai.

- d) ĐÚNG: Thể tích khối tròn xoay:
$V=\pi {\int }_{-80}^{40}{x}^2\mathrm{d}y=\pi {\int }_{-80}^{40}225\left(1+\frac{y^2}{b^2}\right)\mathrm{d}y=225\pi {\left[y+\frac{y^3}{3b^2}\right]}_{-80}^{40}=225\pi \left(120+\frac{576000}{3\cdot \frac{57600}{55}}\right)=225\pi (120+183,333)\approx 214413,7\approx 214414{\text{ m}}^3.$