Câu 4 (1,0 điểm).
a) Hai mái nhà trong hình vẽ là hai hình chữ nhật. Giả sử $AB=5,2\mathrm{m}$; $OA=2,8\mathrm{m}$; $OB=3,2\mathrm{m}$. Tính số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.

b) Một bài thi gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng. Trả lời đúng được 0,5 điểm; trả lời sai bị trừ 0,2 điểm. Bạn An tự tin chắc chắn làm đúng 16 câu. Trong 4 câu còn lại, An chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất để An đạt trên 9 điểm.

a) (0,5 điểm) Vì hai mái nhà trong hình vẽ là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là góc $\widehat{AOB}$. Xét tam giác $OAB$ có $$\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2OA\cdot OB}=\frac{2,8^2+3,2^2-5,2^2}{2\cdot 2,8\cdot 3,2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}=120^{\circ }.$$ Vậy số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà bằng $120^{\circ }$.

b) (0,5 điểm) Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là $\frac{1}{4}$ và xác suất trả lời câu sai là $\frac{3}{4}$ cho mỗi câu hỏi. Gọi $x$ là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là $4-x$. Số điểm học sinh này đạt được là $16\cdot 0,5+0,5x-0,2(4-x)=0,7x+7,2$. An đạt trên 9 điểm khi $0,7x+7,2>9\iff x>\frac{18}{7}\approx 2,6$. Mà $x$ nguyên nên $x=3$ hoặc $x=4$. Gọi $A_i$ là biến cố: “An trả lời đúng $i$ câu trong 4 câu còn lại” (với $i\in \{3;4\}$). $A$ là biến cố: “An đạt trên 9 điểm”. Suy ra $A=A_3\cup A_4$ và $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A_3)+\mathrm{P}(A_4)$. Vậy $\mathrm{P}(A)={\mathrm{C}}_4^3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3{\left(\frac{3}{4}\right)}^1+{\mathrm{C}}_4^4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4=\frac{13}{256}$.