Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, biết $AB=2$, $AD=CD=1$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $AH=2HD$, biết $SH=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $0,95$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $A(0;0;0)$:
- Tia $AD$ thuộc trục $Oy$, do $AD=1$ nên $D(0;1;0)$.
- Tia $AB$ thuộc trục $Ox$, do $AB=2$ nên $B(2;0;0)$.
- Do hình thang vuông tại $A$ và $D$, cạnh $CD\parallel AB$ có $CD=1$ nên tọa độ $C(1;1;0)$.
- Điểm $H\in AD$ thỏa mãn $AH=2HD\Rightarrow H\left(0;\frac{2}{3};0\right)$.
- $SH\perp (ABCD)$ và $SH=2\Rightarrow S\left(0;\frac{2}{3};2\right)$.

Xét hai đường thẳng $SB$ và $CD$:
- Đường thẳng $SB$ đi qua $S$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=\overrightarrow{SB}=\left(2;-\frac{2}{3};-2\right)$.
- Đường thẳng $CD$ đi qua $C$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=\overrightarrow{DC}=(1;0;0)$.

Vectơ tích có hướng:
$[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=\left(0;-2;\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}(0;3;-1)$. Chọn $\vec{n}=(0;3;-1)$.
Ta có $\overrightarrow{CS}=\left(-1;-\frac{1}{3};2\right)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SB$ và $CD$ là:
$d(SB,CD)=\frac{|\overrightarrow{CS}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(-1)(0)+\left(-\frac{1}{3}\right)(3)+2(-1)|}{\sqrt{0^2+3^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-1-2|}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\approx 0,\mathrm{94868...}\approx 0,95$.