Câu 4. Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng 8, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA,OC$ cùng bằng 3. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O$, $A$, $M$, Parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O,C,M$. Tính diện tích phần tô đậm (hình vẽ bên). (kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $O$ gốc, $A(8;0)$, $C(0;8)$, $B(8;8)$, $M(3;3)$.
Parabol $(P_1)$ qua $O,A,M$: $y=ax(x-8)$, thay $M$: $3=-15a\Rightarrow a=-\frac{1}{5}$, tức $y=\frac{8x-x^2}{5}$.
Parabol $(P_2)$ qua $O,C,M$: $x=\frac{8y-y^2}{5}$.
Hai parabol cắt nhau tại $O$ và $M$. Phần tô đậm = diện tích hình vuông trừ đi miền giữa $(P_1)$ và cạnh $OA$ trừ đi miền giữa $(P_2)$ và cạnh $OC$, cộng lại phần giao (thấu kính giữa hai parabol từ $O$ đến $M$) vì bị trừ hai lần.
Miền giữa $(P_1)$ và $Ox$: ${\int }_0^8\frac{8x-x^2}{5}dx=\frac{256}{15}$. Tương tự miền giữa $(P_2)$ và $Oy$: $\frac{256}{15}$.
Thấu kính: với $x\in [0;3]$, $(P_1)$ ở trên nhánh dưới của $(P_2)$: $y=4-\sqrt{16-5x}$.
${\int }_0^3\frac{8x-x^2}{5}dx=\frac{27}{5}$; ${\int }_0^3\left(4-\sqrt{16-5x}\right)dx=12-\frac{2}{15}(64-1)=\frac{18}{5}$.
Thấu kính $=\frac{27}{5}-\frac{18}{5}=\frac{9}{5}$.
Diện tích tô đậm $=64-2\cdot \frac{256}{15}+\frac{9}{5}=64-\frac{485}{15}=\frac{475}{15}\approx 31,67\approx 32$.