Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $2\text{ cm}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $MN$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Tính ${\tan }^2\alpha$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 17), Câu 5 (Phần III, câu 21) có đáp số là $3$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $B(0;0;0)$, điểm $C(2;0;0)$, và điểm $A(1;\sqrt{3};0)$ (do tam giác đều $ABC$ cạnh 2 có chiều cao $\sqrt{3}$). Trục $Oz$ vuông góc với mặt đáy $(ABC)$.

Vì tất cả các cạnh bằng 2 nên:
- $B^{\prime }(0;0;2)$, $C^{\prime }(2;0;2)$, $A^{\prime }(1;\sqrt{3};2)$.
- $M$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }⟹M(1;0;2)$.
- $N$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }⟹N\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};2\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chính là mặt phẳng $y=0$.
Thành phần vuông góc với mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ có độ dài là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Độ dài hình chiếu của $\overrightarrow{MN}$ lên mặt phẳng $y=0$ là $\frac{1}{2}$.

Do đó: $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$.

Vậy ${\tan }^2\alpha =(\sqrt{3}{)}^2=3$.

Đáp số: 3.