Câu 4: Một viên gạch hình vuông $ABCD$ có cạnh $60$. Người ta trang trí viên gạch bằng các đường cong $(L_1),(L_2)$. $(L_1)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MC=MA+50$ hoặc $MA=MC+50$. Khi quay đường cong $(L_1)$ quanh tâm viên gạch hình vuông đó một góc $90^{\circ }$ ta được đường cong $(L_2)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $(L_1),(L_2)$ và các cạnh viên gạch (phần màu trắng, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 16), Câu 4 (Phần III, câu 20) có đáp số là $2502$.

Đặt hệ trục tọa độ có gốc $O$ tại tâm viên gạch, trục $Ou$ trùng với đường chéo $AC$, trục $Ov$ vuông góc với $AC$. Viên gạch hình vuông cạnh $60$ có đường chéo $AC=60\sqrt{2}$, nên tọa độ các đỉnh $A(-30\sqrt{2};0)$ và $C(30\sqrt{2};0)$.

Đường cong $(L_1)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa $|MC-MA|=50$, đây là một hypebol có hai tiêu điểm $A,C$. Ta có:
- $2a=50⟹a=25$.
- $c=30\sqrt{2}$.
- $b^2=c^2-a^2=(30\sqrt{2}{)}^2-25^2=1800-625=1175$.

Phương trình hypebol $(L_1)$ là: $\frac{u^2}{25^2}-\frac{v^2}{1175}=1$.

Xét góc xám gần đỉnh $A$: nhánh hypebol gần $A$ có phương trình $u=-25\sqrt{1+\frac{v^2}{1175}}$.
Cạnh viên gạch gần đỉnh $A$ có phương trình $u=-30\sqrt{2}+v$ với $v\ge 0$.

Hoành độ giao điểm $v_0$ thỏa mãn: $30\sqrt{2}-v_0=25\sqrt{1+\frac{v_0^2}{1175}}$, giải ra $v_0\approx 15,106$.

Diện tích của một góc xám là:
$S_1=2{\int }_0^{v_0}\left(30\sqrt{2}-v-25\sqrt{1+\frac{v^2}{1175}}\right)\mathrm{d}v\approx 274,515.$

Vì có 4 góc xám bằng nhau nên diện tích phần màu trắng là:
$S=60^2-4S_1\approx 3600-4\cdot 274,515=2501,94.$

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu: $S\approx 2502$.

Đáp số: 2502.