Câu 3: Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: $20$ khách đầu tiên có giá là $30\text{ USD/người}$; nếu có nhiều hơn $20$ người đăng kí thì cứ có thêm $1$ người, giá vé sẽ giảm $1\text{ USD/người}$ cho toàn bộ hành khách. Hỏi công ty nên giới hạn số lượng hành khách tối đa là bao nhiêu để công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí của chuyến đi là $400\text{ USD}$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 15), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $40$.

Gọi $n$ là tổng số khách du lịch tham gia chuyến đi ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Với $n>20$, số khách vượt quá 20 là $n-20$, giá vé cho mỗi người là:
$30-(n-20)=50-n\text{ (USD)}.$

Tổng doanh thu của chuyến đi là:
$R(n)=n(50-n)\text{ (USD)}.$

Để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải không nhỏ hơn chi phí:
$n(50-n)\ge 400⟺-n^2+50n-400\ge 0⟺n^2-50n+400\le 0.$

Giải bất phương trình bậc hai: tam thức $n^2-50n+400$ có hai nghiệm là $n=10$ và $n=40$.

Do đó:
$10\le n\le 40.$

Vậy công ty nên giới hạn số lượng hành khách tối đa là $40$ khách để không bị lỗ.

Đáp số: 40.