Câu 86. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có cực đại tại $(-2;0)$ (tiếp xúc trục hoành) và cực tiểu tại $(0;-4)$, cắt trục hoành tại $x=1$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2{)}^2(x-1)$; vì $f^{\prime }(0)=4a(-1)=-4\Rightarrow a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$.

a) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ (nghiệm kép) hoặc $x=1$. Vì $(x+2{)}^2\ge 0$, ta có $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x<1$, $x\ne -2$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$. Dấu của $f^{\prime }$ không đổi khi qua $x=-2$, chỉ đổi dấu khi qua $x=1$. Vậy $f$ chỉ có một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$) → sai.

b) Trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → sai.

c) Vì $f$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ nên $f(2)<f(4)$, do đó $f(2)-f(4)<0$ → sai.

d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1=(x-1)[(x+2{)}^2-1]=(x-1)(x+1)(x+3)$. Trên khoảng $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x-1<0$, $x+1<0$, $x+3>0$ nên $g^{\prime }(x)>0$. Vậy $g$ đồng biến trên khoảng đó → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+2)^2(x-1) không đổi dấu qua x=-2 (nghiệm kép), chỉ đổi dấu qua x=1, nên f chỉ có một điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-2) có f'(x)<0 nên f nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên (1;+∞) nên f(2)<f(4), suy ra f(2)-f(4)<0.
d) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=(x-1)(x+1)(x+3)>0 trên (-5/2;-3/2) nên g đồng biến.